ЧЕБЫШЕВА УРАВНЕНИЕ

- линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
или, в самосопряженной форме, здесь а - константа. Ч. у. представляет собой частный случай гипергеометрического уравнения.
Точки х=-1 и х=1 являются регулярными особыми точками Ч. у. Замены независимой переменной t= arccos . при | х|< 1, t = Arch | .| при | .| > 1 приводят это уравнение соответственно к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами
так что Ч. у, интегрируется в замкнутой форме. Фундаментальная система решений Ч. у. на интервале - 12, где п - натуральное число, состоит из Чебышева многочлена(1-го рода) степени n

Т _п (х) = cos (narccos х), и функции U_n(x)=sin(narccos x), связанной с многочленами Чебышева 2-го рода. Многочлен Т _n (х) служит действительным решением Ч. у. с а=n² и на всей действительной оси. Ч. у. изучалось также в комплексной области.

Н. X. Розов.